求证n^5/5+n^3/3+7/15n为整数（n为正整数）。

上面的做法做复杂了，你可以做的，用初等数论中的泰勒定理，就是
n^5/5+n^3/3+7n/15
=(3n^5+5n^3+7n)/15
=(3(n^5 -n)+5(n^3-n)+15n)/15

你在好好看看啊，3(n^5 -n)一定是15的倍数

5(n^3-n)一定是15的倍数

15n 一定是15的倍数 就有

就有 n^5/5+n^3/3+7n/15为整数

N=1/5*n^5+1/3*n^3+7/15*n
=1/15*(3n^5+5n^3+7n)
=1/15*n(3n^4+5n^2+7)
=1/15*n(3n^4-10n^2+7+15n^2)
=n/15*[(3n^2-7)(n^2-1)+15n^2]
=(n-1)n(n+1)(3n^2-7)/15+n^3

因为(n-1)，n，(n+1)是3个连续的自然数，一定有个是3的倍数。

如果（n-1)，n，(n+1)里有5的因子，则(n-1)n(n+1)是15的倍数，得证。

如果（n-1)，n，(n+1)里没有5的因子，
则只能是n=5k+2,n=5k+3.(k是自然数）
n=5k+2时，
3n^2-7=3（5k+2)^2-7=75k^2+60k+5,是5的倍数。
n=5k+3时，
3n^2-7=3（5k+3)^2-7=75k^2+90k+20,是5的倍数。
所以(n-1)n(n+1)(3n^2-7)是15的倍数。

得证。

归纳法
直观的理解而复杂的计算